QC - Ovládajte kvantové výpočty s jednotnými operátormi, rušením a zapletením

Foto: Sagar Dani

Skvelé. Práve sme dokončili 2. časť programu Qubit (kvantový bit - základný stavebný blok pre kvantové výpočty). Ako to teda môžeme ovládať? Na rozdiel od klasických výpočtov nepoužívame logické operácie ani bežnú aritmetiku na qubity. V kvantovom výpočte neexistuje výraz „while while“ alebo „větvenie“. Namiesto toho vyvíjame unitárne operátory na manipuláciu s qubits so zásadou interferencie v kvantovej mechanike. Znie to fantasticky, ale v skutočnosti je to veľmi jednoduché. Pozrime sa na koncept jednotných operátorov. Ako vedľajšiu poznámku sa pozrieme na jej vzťah k Schrodingerovej rovnici, aby sme nenavrhovali koncept proti prírode. Nakoniec sa pozrieme na zapletenie, mystický kvantový jav.

Kvantové brány

V klasických počítačoch používame základné logické operátory (NOT, NAND, XOR, AND, OR) na bity, aby sme vytvorili komplexné operácie. Nasleduje napríklad jednobitový sčítač s prenosom.

Kvantové počítače majú úplne odlišné základné operátory nazývané kvantové brány. Nekompilujeme existujúci program C ++ na spustenie na kvantovom počítači. Obaja majú rôznych operátorov a kvantové výpočty si vyžadujú rôzne algoritmy, aby ich mohli využívať. V kvantovom výpočte ide hlavne o manipuláciu s qubits, ich zapletenie a meranie. Vráťme sa do sféry Bloch. Koncepčne kvantové výpočtové operácie manipulujú s Φ a θ superpozície tak, aby pohybovali bodmi po povrchu gule jednotky.

Matematicky povedané, so superpozíciou sa manipuluje s lineárnym operátorom U vo forme matice.

Pre jeden štvorček je operátor jednoducho maticou 2 × 2.

Schrodingerova rovnica (voliteľné)

Príroda vyzerá naivne jednoduchá! Matematika je iba lineárna algebra, ktorú sa učíme na strednej škole. Medzi meraniami sú stavy manipulované lineárnymi operátormi pomocou násobenia matíc. Pri meraní sa superpozícia zrúti. Je iróniou, že linearita je veľkým sklamaním pre sci-fi fanúšikov. Toto je všeobecná vlastnosť kvantovej dynamiky. Inak je možné cestovanie v čase alebo cestovanie rýchlejšie ako svetlo. Ak začneme s týmto lineárnym operátorom (presným je jednotný operátor), môžeme odvodiť Schrodingerovu rovnicu, základný kameň kvantovej mechaniky, v opise toho, ako sa stavy vyvíjajú v kvantovej mechanike. Z opačného pohľadu uzatvára Schrodingerova rovnica linearitu prírody.

zdroj

Tu môžeme prepísať Schrodingerovu rovnicu ako

kde H je Hermitian. Ukazuje, ako sa stavy vyvíjajú v prírode lineárne.

Rovnica je lineárna, tj ak obidva ψ1 a ψ2 sú platné riešenia pre Schrodingerovu rovnicu,

jej lineárna kombinácia je všeobecným riešením rovnice.

Ak sú | 0⟩ a | 1⟩ možné stavy systému, jeho lineárna kombinácia bude jeho všeobecným stavom - to je princíp superpozície v kvantovom výpočte.

jednotkový

Náš fyzický svet neumožňuje všetkým možným lineárnym operátorom. Prevádzkovateľ musí byť jednotný a musí spĺňať nasledujúce požiadavky.

kde U † je transponovaný komplexný konjugát U. Napríklad:

Matematicky jednotný operátor zachováva normy. Je to vynikajúca vlastnosť udržať úplnú pravdepodobnosť rovnú jednej po transformácii štátu a udržať superpozíciu na povrchu jednotkovej gule.

Ak sa pozrieme na riešenie Schrodingerovej rovnice nižšie, príroda sa riadi rovnakým jednotkovým pravidlom. H je Hermitian (transponovaný komplexný konjugát Hermitian sa rovná sebe). Násobenie operátora s transponovaným komplexným konjugátom sa rovná matici identity.

Nasleduje príklad H, kde existuje jednotné magnetické pole E field v smere z.

Výsledkom použitia jednotkovej operácie na | ψ⟩ je rotácia v osi z.

Aký je však skutočný význam jednoty v skutočnom svete? To znamená, že operácie sú reverzibilné. Pre každú možnú operáciu existuje ďalšia operácia, ktorá môže vrátiť akciu. Rovnako ako pozeranie filmu, môžete ho prehrávať vpred a príroda umožňuje jeho náprotivku U † prehrať video dozadu. V skutočnosti si nemusíte všimnúť, či prehrávate video dopredu alebo dozadu. Takmer všetky fyzikálne zákony sú časovo vratné. K niekoľkým výnimkám patrí meranie v kvantovej dynamike a druhý zákon termodynamiky. Pri navrhovaní kvantového algoritmu je to veľmi dôležité. Výhradná operácia OR (XOR) v klasickom počítači nie je reverzibilná. Informácie sa stratia. Pri výstupe 1 nemôžeme rozlíšiť, či je pôvodný vstup (0, 1) alebo (1, 0).

V kvantovom výpočte nazývame operátormi kvantové brány. Keď navrhujeme kvantovú bránu, uistíme sa, že je jednotná, tj bude existovať ďalšia kvantová brána, ktorá môže zvrátiť stav späť na pôvodnú hodnotu. Od tej doby je to dôležité

ak je operátor jednotný, môže sa implementovať do kvantového počítača.

Len čo sa preukáže jednotná jednotka, inžinieri by nemali mať problémy s jej implementáciou, prinajmenšom teoreticky. Napríklad počítače IBM Q, zložené zo supravodivých obvodov, používajú mikrovlnné impulzy s rôznou frekvenciou a dobou trvania na riadenie qubits pozdĺž povrchu sféry Bloch.

Aby sme dosiahli jednotný charakter, niekedy vydávame časť vstupu, aby sme splnili túto požiadavku, ako je požiadavka uvedená nižšie, aj keď to vyzerá zbytočne.

Pozrime sa na jednu z najbežnejších kvantových brán, Hadamardovu bránu, ktorá je lineárnym operátorom definovaná ako nasledujúca matica.

alebo v Diracovom zápise

Keď použijeme operátora na stav zdvihu alebo odstreďovania, zmeníme superpozície na:

Ak sa odmeria, obe majú rovnakú šancu na to, aby sa roztočili alebo roztočili. Ak bránu znova použijeme, vráti sa späť do pôvodného stavu.

zdroj

tj transponovaný konjugát Hadamardu je samotná Hadamardova brána.

Keď použijeme UU †, obnoví sa pôvodný vstup.

Hadamardská brána je preto jednotná.

Kvantové výpočty sú založené na interferencii a zapletení. Aj keď kvantové výpočty dokážeme matematicky pochopiť bez pochopenia týchto javov, ukážeme to rýchlo.

zasahovanie

Vlny navzájom konštruktívne alebo deštruktívne zasahujú. Napríklad výstup môže byť zväčšený alebo sploštený v závislosti od relatívnej fázy vstupných vĺn.

Aká je úloha rušenia v kvantovom výpočte? Urobme niekoľko experimentov.

Mach Zehnderov interferometer (zdroj)

V prvom experimente pripravujeme všetky prichádzajúce fotóny na stav polarizácie | 0⟩. Tento prúd polarizovaných fotónov je rovnomerne rozdelený polohou B rozdeľovača lúčov pri 45 °, tj rozdelí lúč na dve ortogonálne polarizované svetlá a skončí samostatnými cestami. Potom pomocou zrkadiel odrazíme fotóny do dvoch samostatných detektorov a zmeriame intenzitu. Z hľadiska klasickej mechaniky sa fotóny rozdelili na dve samostatné cesty a rovnomerne zasiahli detektory.

V druhom vyššie uvedenom experimente sme dali detektorom ďalší rozdeľovač lúčov. Rozdeľovače lúčov pracujú nezávisle od seba a rozdeľujú prúd svetla na dve polovice. Oba detektory by mali zistiť polovicu svetelných lúčov. Pravdepodobnosť, že fotón dosiahne detektor D₀ použitím 1-cestnej trasy v červenej farbe, je:

Celková šanca, že fotón dosiahne D₀, je 1/2 buď z 1 alebo 0 ciest. Takže obidva detektory detegujú polovicu fotónov.

To sa však nezhoduje s experimentálnym výsledkom! Iba D. Detekuje svetlo. Poďme modelovať stavový prechod pre rozdeľovač lúčov s hadamardskou bránou. Takže v prvom experimente je stav fotónu po splittere

Keď sa zmeria, polovica z nich bude | 0⟩ a polovica z nich bude | 1⟩. Svetelné lúče sú rovnomerne rozdelené do dvoch rôznych ciest. Takže naša Hadamardova brána bude zodpovedať klasickému výpočtu. Pozrime sa však, čo sa stalo v druhom experimente. Ako je uvedené vyššie, ak pripravíme všetky vstupné fotóny na | 0⟩ a odovzdáme ich do dvoch Hadamardových brán, všetky fotóny budú opäť | 0⟩. Takže keď sa meria, svetelný lúč detekuje iba D₀. Žiadna nedosiahne D₁, pokiaľ nevykonáme žiadne merania pred obidvomi detektormi. Experimenty potvrdzujú, že kvantový výpočet je správny, nie klasický výpočet. Pozrime sa, ako rušenie hrá úlohu tu v druhej hadamardskej bráne.

Ako je uvedené nižšie, komponenty rovnakej výpočtovej základne sa navzájom konštruktívne alebo deštruktívne vzájomne ovplyvňujú, aby sa dosiahol správny experimentálny výsledok.

Môžeme pripraviť vstupný fotónový lúč na | 1⟩ a znovu vykonať výpočet. Stav po prvom rozdeľovači sa líši od pôvodného rozdelením fázou π. Ak teda zmeráme teraz, oba experimenty vykonajú rovnaké merania.

Pri opätovnom použití brány Hadamard však jedna vyrobí | 0⟩ a druhá vytvorí | 1⟩. Rušenie vytvára komplexné možnosti.

Dovoľte mi urobiť ešte jeden zábavný experiment, ktorý má veľmi významný vplyv na kybernetickú bezpečnosť.

Ak umiestnime ďalší detektor Dx po prvom rozdeľovači, experiment ukazuje, že oba detektory teraz detekujú polovicu fotónov. Zhoduje sa to s výpočtom v kvantovej mechanike? V nasledujúcej rovnici, keď pridáme meranie po prvom splitteri, vynútime kolaps v superpozícii. Konečný výsledok bude iný ako výsledok bez ďalšieho detektora a bude zodpovedať experimentálnemu výsledku.

Príroda nám hovorí, že ak viete, ktorou cestou sa fotón uberá, oba detektory detegujú polovicu fotónov. V skutočnosti to môžeme dosiahnuť iba jedným detektorom v jednej z ciest. Ak sa pred obidvomi detektormi neuskutoční žiadne meranie, všetky fotóny skončia v detektore D₀, ak je fotón pripravený na | 0⟩. Intuícia nás opäť vedie k nesprávnemu záveru, zatiaľ čo kvantové rovnice zostávajú dôveryhodné.

Tento jav má jeden kritický vplyv. Dodatočné meranie zničí pôvodné rušenie v našom príklade. Po meraní sa zmení stav systému. Toto je jedna z kľúčových motivácií kvantovej kryptografie. Algoritmus môžete navrhnúť tak, že ak hacker zachytí (zmeria) správu medzi vami a odosielateľom, môžete detekovať takéto narušenie bez ohľadu na to, aké jemné môže byť meranie. Pretože vzorec merania bude odlišný, ak bude odpočúvaný. Veta bez klonovania v kvantovej mechanike tvrdí, že človek nemôže presne duplikovať kvantový stav. Hacker teda nemôže duplikovať a znova odoslať pôvodnú správu.

Okrem kvantovej simulácie

Ak ste fyzik, môžete využiť interferenčné správanie v kvantových bránach na simuláciu rovnakej interferencie v atómových svetoch. Klasické metódy pracujú s teóriou pravdepodobnosti s hodnotami väčšími alebo rovnými nule. Pri pokusoch sa predpokladá nezávislosť.

Kvantový mechanizmus tvrdí, že tento model je nesprávny a predstavuje model s komplexnými a zápornými číslami. Namiesto použitia teórie pravdepodobnosti používa na modelovanie problému interferenciu.

Čo to teda prináša pre nefyzika? K rušeniu možno pristupovať ako k rovnakému mechanizmu ako k jednotnému operátorovi. Môže byť ľahko implementovaná do kvantového počítača. Matematicky je unitárny operátor matica. Keď sa počet qubitov zvyšuje, dostávame exponenciálny nárast koeficientov, s ktorými môžeme hrať. Tento jednotný operátor (zásah do oka fyzika) nám umožňuje manipulovať so všetkými týmito koeficientmi v jedinej operácii, ktorá otvára dvere pre rozsiahle manipulácie s údajmi.

zapletenie

Vedci sa všeobecne domnievajú, že bez zapletenia nemôžu kvantové algoritmy preukázať nadradenosť nad klasickými algoritmami. Bohužiaľ, nerozumieme dôvodom dobre, a preto nevieme, ako prispôsobiť algoritmus tak, aby sa využil celý jeho potenciál. Preto sa pri zavádzaní kvantovej výpočtovej techniky často spomína spletenie, ale nie o mnoho neskôr. Z tohto dôvodu vysvetlíme, čo je v tejto časti zapletené. Dúfam, že ste vedec, ktorý prelomí tajomstvo.

Zvážte superpozíciu 2-qubits.

kde | 10> znamená, že dve častice sú v odstreďovaní smerom dole, respektíve smerom hore.

Zvážte nasledujúci zložený stav:

Môžeme rozdeliť zložený stav späť do dvoch samostatných štátov, ako napríklad:

Nemôžeme, pretože to vyžaduje:

Kvantová mechanika demonštruje jeden neintuitívny koncept. V klasickej mechanike sa domnievame, že pochopenie celého systému sa dá dosiahnuť dobrým porozumením každej podzložky. Ale v kvantovej mechanike,

Ako sme už uviedli, dokážeme modelovať zložený stav a perfektne predpovedať merania.

Nemôžeme to však opísať ani pochopiť ako dve nezávislé zložky.

Tento scenár si predstavujem ako manželia 50 rokov. Vždy sa budú zhodovať na tom, čo robiť, ale odpovede, ktoré sa považujú za samostatné osoby, nemôžete nájsť. Toto je príliš zjednodušený scenár. Existuje veľa možných stavov spletenia

a bude oveľa ťažšie ich opísať, keď sa počet qubitov zvýši. Pri vykonávaní kvantových operácií vieme, ako komponenty korelujú (zapletú). Pred akýmkoľvek meraním však zostanú presné hodnoty otvorené. Zapletenie vytvára korelácie, ktoré sú oveľa bohatšie a pravdepodobne oveľa ťažšie na to, aby klasický algoritmus efektívne napodobňoval.

Ďalšie

Teraz vieme, ako manipulovať s qubits s jednotnými operáciami. Ale pre tých, ktorí sa zaujímajú o kvantové algoritmy, by sme mali vedieť, aké je prvé obmedzenie. V opačnom prípade môžete prehliadnuť, čo je v kvantovom výpočte ťažké. Ale pre tých, ktorí sa chcú o kvantovej bráne dozvedieť viac, si môžete prečítať druhý článok pred prvým.